沃邦教育年終總結丨2021年SAT數學年終總結


來源:   時間:2022-01-06 14:45:26

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本文作者:童老師-沃邦教育SAT教研組
 
下面依據幾個考試重點難點對2021年迄今的SAT數學考試題目來一次盤點:
 

01.一次方程(組)解的個數

 
一次方程(組)解的個數會有不同情況,對此要能正確判斷。
 
(1)關于x的一次方程
ax=b
中:若a=0且b=0,則有無數解;若a=0且b≠0,則無解;若a≠0,則有且僅有一個解。
 
(2)關于x和y的一次方程組
ax+by=c
dx+ey=f
中:若a/d=b/e=c/f,則有無數解;若a/d=b/e≠c/f,則無解;若a/d≠b/e,則有且僅有一組解。
 
下面是幾道出現于2021年的考題:
 
2103NA.3.20:

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根據考點(1),答案為0.5
 
2103NA.4.28:

\
根據考點(2),答案為D
 
2104Schoolday.4.34:

\
根據考點(2),答案為4.5
 
2110NA.3.14:

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根據考點(2),答案為B
 
2110AS.3.11:

\
根據考點(2),答案為B
 

02.線性關系的意義

 
兩個變量間若存在一次函數 y=kx+b (k 為非零常數,b 為任意常數)的關系,則兩者呈線性關系。有一類題目考查的是線性關系在實際應用中所體現出的意義,它們往往不涉及復雜計算,卻要求同學們十分熟悉線性關系的性質,并將其同題目選項中的文字或是圖表聯系起來。
 
(1)線性關系的核心性質:自變量每增加一定量,因變量便會增加一個固定量。換言之,因變量的增加量與自變量的增加量這兩者間的比值是一個非零常數,而此常數便是斜率。
(2)線性關系的實際意義:在 y=kx+b 中,斜率 k 的實際意義是指 x 每增加 1 時 y 所增加的量;斜率倒數 1/k 的實際意義是指 y 每增加 1 時 x 所增加的量;截距 b 的實際意義是指 x=0 時 y 所取的值。而在 y=k(x-a) 中,a 是X-截距,其實際意義是指 y=0 時 x 所取的值。
 
下面是幾道出現于2021年的考題:
 
2103NA.3.9:

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根據考點(2),答案為A
 
2104Schoolday.3.5:

\
根據考點(2),答案為A
 
2110NA.4.3:

\
根據考點(1),答案為A
 
2110NA.4.9:

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\
根據考點(2),答案為D
 

03.指數關系的意義

 
兩個變量間若存在指數函數 y=bax/c(b為非零常數,a 為非 1 的正常數,c 為正常數)的關系,則兩者呈指數關系。許多指數函數的題目考查的是指數關系在實際應用中所體現出的意義,它們往往不涉及復雜計算,卻要求同學們十分熟悉指數關系的性質,并將其同題目選項中的文字或是圖表聯系起來。
 
(1)指數關系的核心性質:自變量每增加一定量,因變量便會乘以一個固定倍數,或者說,因變量便會增加一個固定百分比的增長率。
(2)指數關系的實際意義:y=bax/c 中,截距 b 的實際意義是指 x=0 時 y 所取的值;底數 a 的實際意義是指 x 每增加 c 時 y 所乘的倍數。特別地,c=1 時,即  y=bax 中,a 指的是 x 每增加 1 時 y 所乘的倍數。
(3)倍數與增長率的關系:一個量乘以 M 倍,相當于增加了 (M-1)*100%。即增長率=倍數-1,反之,倍數=增長率+1。
(4)指數函數y=bax/c 有一條水平漸近線y=0;若將函數上下平移,得到y=bax/c+d(d為任意實常數),則水平漸近線變為y=d。
 
下面是幾道出現于2021年的考題:
 
2103NA.3.15:

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根據考點(2),答案為B
 
2103NA.4.19:

\
根據考點(1),答案為A
 
2103NA.4.27:

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根據考點(3),答案為B
 
2104Schoolday.4.16:

\
根據考點(1),答案為D
 
:2104Schoolday.4.30:

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根據考點(2),答案為C
 
2105NA.4.28:

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根據考點(2),答案為B
 
2110NA.4.12:

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根據考點(2),答案為A
 
2110AS.4.8:

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根據考點(1),答案為D
 
2110AS.4.25:

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根據考點(3),答案為C
 

04.多項式

 
多項式的考點涉及多項式的零點、因式,余數定理、圖像性質等概念。
 
(1)零點與因式的關系:常數 c 為多項式 f(x) 的一個零點zero(即 x=c 時,f(x)=0),等價于,x-c 為 f(x) 的一個因式factor。
(2)多項式函數 y=f(x) 圖像與x軸的交點:(x-c)n 為 f(x) 的一個因式(n 為正整數),若 n 為奇數,則函數圖像會與 x 軸相交于 (c,0) 點并穿過 x 軸;若 n 為偶數,則函數圖像會與 x 軸相交于 (c,0) 點卻不穿過 x 軸;另外當 n>1 時,則函數圖像與 x 軸相切于 (c,0) 點。
(3)多項式函數 y=f(x) 的極限:若多項式最高次項系數為正,則當 x 趨向正無窮時,y 趨向正無窮,圖像右端向上;若多項式最高次項系數為負,則當 x 趨向正無窮時,y 趨向負無窮,圖像右端向下。若多項式最高次數為偶數,則當 x 分別趨向正負無窮時,y 分別趨向符號相同的無窮,圖像左右兩端同向;若多項式最高次數為奇數,則當 x 分別趨向正負無窮時,y 分別趨向符號相反的無窮,圖像左右兩端異向。
(4)多項式余數定理:多項式 f(x) 除以 x-c (c 為任意實常數)的余數為 f(c)。
 
下面是幾道出現于2021年的考題:
 
2103NA.3.11:

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根據考點(1)與(3),答案為D
 

05.統計量

 
SAT數學要求掌握的統計量有平均數mean,中位數median,眾數mode,極差range 和 標準差standard deviation。其中標準差的比較,找中位數以及中位數和均值的比較都是重中之重。以下是具體知識點:
 
(1)標準差:在比較其大小時要牢記的原則是“數據越集中越小,越分散越大”。
(2)中位數:找中位數的時候一定要按從小到大排好序,再找第(n+1)/2個數。
(3)平均數和中位數關系:隨著數據分布的不同,平均數和中位數的大小也呈現不同的關系。這里牢記的原則是“存在極端偏大的值,平均數大于中位數;存在極端偏小值時,平均數小于中位數”。
(4)統計量的線性變換:所有數據都加常數k, 則平均數、中位數、眾數都相應加k,而極差和標準差不變。如果只有最大值變得更大或者最小值變得更小,則中位數不變。
  
下面是幾道出現于2021年的考題:
 
2104Schoolday.4.23:

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根據考點(1),答案為D
 
2105NA.4.23:

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根據考點(1),答案為C
 
2110AS.4.23:

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根據考點(1),答案為A
 

06. 統計推論

 
統計推斷方面的題目關鍵在于概念要百分百明晰。
 
(1)樣本代表性的確定:在任何抽樣研究中,樣本是隨機抽取自哪個總體,那樣本調查的結果就能且只能推廣到這個總體。若非隨機取樣(random sampling),則該樣本無法代表此總體。而且如果隨機樣本中的樣本比例為20%,只能推出總體中的比例大約為20%,不能認為總體比例正好為20%,也不能認為再次隨機抽樣一定也會得到正好20%的樣本比例。
(2)因果關系的確定:統計里只有實驗才能確定因果關系,而實驗必須得滿足“隨機分配處理”,也就是random assignment of treatments。如果沒有滿足隨機分配處理,一定無法得到任何和因果關系有關的結論。注:隨機取樣與隨機分配處理兩者互相獨立,互不干涉,它們分別決定的是完全不相干的兩件事。
(3)置信區間:也就是confidence interval。置信區間是指通過隨機樣本的均值或者比例加減邊際誤差(margin of error),構建一個區間去估計總體均值或者總體比例。在遇到和置信區間意義有關的題目時一定要緊扣“總體均值”或者“總體比例”。
(4)一般來說,在一定置信水平上,用樣本量更大的樣本去估測總體,邊際誤差會更小。
(5)一般來說,在一定置信水平上,用樣本標準差更小的樣本去估測總體,邊際誤差會更小。
 
下面是幾道出現于2021年的考題:
 
2110AS.4.24:

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根據考點(2),答案為C
 

07.總結

 
2021年SAT數學考試,有以下幾個值得注意的特點:
  1. 指數函數的意義考察頻數比較多、難度亦有所升高;
  2. 因果關系、調查抽樣的考察次數較前幾年有所下降;
  3. 標準差大小的判斷考察次數不少;
  4. 一次方程(組)解的個數幾乎每次考試都會考查。
 

08.2022備考建議

 
在備考來年的 SAT 數學時,應仍要注重指數函數的意義、多項式圖像性質及統計這三個方面,其中置信區間相關的概念需要做到完全深刻的理解。
 
此外,讀題、看圖表以及動筆計算時候的仔細嚴謹,再如何注意也不為過。
 
最后需要再一次強調官方指南對于準備 SAT 數學的指導意義。在此書中,關于函數的部分明確列出了漸近線、函數奇偶性等幾個至今尚未考過的概念。這些或許能為我們窺見來年 SAT 數學真題提供一個窗口。


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